Was sind perfekte Zahlen?
Welche gibt es noch?
Die nächste ist 28, mit den Teilern 1, 2, 4, 7 und 14. Danach kommt lange nichts: 496, dann 8.128, dann 33.550.336. Die Abstände werden schnell gewaltig.
Bekannt sind heute 52 perfekte Zahlen. Die größte hat über 82 Millionen Stellen, und sie auszuschreiben würde zehntausende Buchseiten füllen.
Warum sind sie so selten?
Weil sie an einer anderen seltenen Sorte von Zahlen hängen, den Mersenne-Primzahlen. Das sind Primzahlen, die genau eins unter einer Zweierpotenz liegen: 3 ist 4 minus 1, 7 ist 8 minus 1, 31 ist 32 minus 1. Die meisten Zahlen dieser Bauart sind keine Primzahlen, und niemand weiß, ob es unendlich viele davon gibt.
Euklid zeigte schon in der Antike, wie aus jeder Mersenne-Primzahl eine perfekte Zahl wird: Man multipliziert sie mit der halben Zweierpotenz. Aus 7 wird 4 mal 7, also 28. Aus 31 wird 16 mal 31, also 496. Euler bewies zwei Jahrtausende später die Umkehrung: Jede gerade perfekte Zahl entsteht auf genau diesem Weg. Beide Sorten sind damit fest aneinander gekoppelt, und wer eine neue perfekte Zahl finden will, muss eine neue Mersenne-Primzahl finden.
Die bislang größte fand Luke Durant am 12. Oktober 2024 mit gemieteten Grafikkarten in der Cloud. Sie hat 41.024.320 Stellen, und die perfekte Zahl, die daraus entsteht, ist noch einmal doppelt so lang: über 82 Millionen Stellen.
Was ist seit 2.000 Jahren offen?
Ob es ungerade perfekte Zahlen gibt. Alle bekannten sind gerade, und niemand konnte bisher beweisen, dass es dabei bleibt. Man weiß nur, dass eine ungerade perfekte Zahl, falls es sie gibt, mindestens 1.500 Stellen haben müsste.
Woher kommt der Name?
Aus der griechischen Antike. Schon Euklid befasste sich um 300 v. Chr. mit ihnen, und Nikomachos von Gerasa teilte um 100 n. Chr. die Zahlen nach ihrem Teilerverhalten ein. Ist die Summe der Teiler größer als die Zahl selbst, heißt sie abundant; ist sie kleiner, defizient. Dazwischen liegt das Gleichgewicht.
Eine mathematische Bedeutung hat die Bezeichnung nicht. Sie ist reine Wertschätzung, und sie hat sich über zweitausend Jahre gehalten. Auf unserem Shirt stehen die ersten sechs.
